Les synthétiques

 

Ca va mieux en le disant: Kant avait raison. Le mathématique n'est pas le logique et Frege (mais aussi Couturat) avaient tort: les maths ne se réduisent pas à la logique. 

On rappelle la différence entre analytique et synthétique dans les jugements associant un prédicat à un sujet. Selon que le prédicat est "contenu" sémantiquement dans le sujet, on a ou non "création". Le mathématique, d'après Kant, est synthétique à priori, donnant au monde mathématique le caractère "empirique" d'une nature. Par opposition, l'analytique, par définition, est entièrement "a priori", ce qui est le cas du "logique". 

La chose est bien démontrée par Gödel qui démontre que le calcul des prédicats du premier ordre est complet et que ses formules se réduisent à ses théorèmes, cela sans avoir la miraculeuse propriété de l'arithmétique (de Peano) qui elle, permet d'encoder un théorème comme le "monstre", qui peut affirmer son indémontrabilité... 

L'arithmétique est radicalement différente du calcul des prédicats, le mathématique ne peut être réduit au logique. 

On en vient ainsi à dire que le monstre est "synthétique". En effet, sa vérité n'est indubitable que si l'arithmétique est cohérente. Or cette cohérence ne peut être prouvée dans l'arithmétique. Il y a donc besoin d'un "extérieur" pour affirmer la "vérité" du monstre. Les vérités de l'arithmétique NESONTPAS analytiques. 

Cette formulation est elle correcte ? La vérité du monstre a-t-elle besoin d'un "extérieur" ?

 

Quine  

Quine nie la différence entre analytique et synthétique et la considère comme un "acte de foi métaphysique". Il le fait en niant qu'on puisse établir un critère de distinction. 

C'est le célèbre "aucun célibataire n'est marié" qui n'est analytique que si "célibataire" équivaut à "non marié". Or cette équivalence dans le langage est "empirique" en tout cas susceptible d'être expliquée, ou pas, la confusion sémantique entre les caractéristiques "célibataire" et "non marié" pouvant au moins en principe être empirique et donc non distinguable d'une synonymie non logique, qui serait juste extensive. On ne peut donc différencier vraiment dans le langage analytique de synthétique. 

Gödel l'affirme donc, les mathématiques ne sont pas analytiques au sens kantien. Par contre, on peut les dire analytiques (selon lui) mais dans un sens étendu, qui est celui d'un contenu, alors que la logique ne contient AUCUN objet. 

Mais Quine se distingue de Carnap en reconnaissant le caractère non analytique aux mathématiques... 

De fait on identifie bien les mathématiques à la logique du second ordre, qui la rend définitivement distincte de la logique au sens strict, dite du premier ordre et qui définit de fait l'analytique...

 

 

(1) https://www.academia.edu/2547669/La_distinction_kantienne_entre_jugement_analytique_et_jugement_synth%C3%A9tique_a_t_elle_un_sens_