Olivia

On avait déjà eu l'occasion d'évoquer une idée (ou principe) extraordinairement puissant en ce qu'il serait la conséquence de quelque chose qui serait là, vraiment vraiment profond, quoique inconnu.

Il s'agit de la capacité, en principe, de deux théories, ou mondes organisés, d'entrer en correspondance d'une manière telle que serait rendus équivalents deux textes radicalement différents de chacune des théories, l'un extraordinairement compliqué, l'autre extraordinairement simple. Ces deux textes seraient ainsi identiques en fait et la simplicité de l'un traduirait la complexité de l'autre et réciproquement. Ceci s'expliquerait par la nature de la correspondance, et qui ne serait pas de nature directe: il n'y aurait pas "traduction" de l'un à l'autre comme on le fait bêtement en utilisant un dictionnaire, mais partage entre les deux d'une structure mystérieuse, un troisième tiers, qui les modéliserait tous les deux dans un autre monde où l'équivalence serait "facile", ou du moins conçue abstraitement avec des principes généraux. 

Cette histoire de dualité remonte à Jean-Victor Poncelet, une très forte personnalité de l'époque du premier empire, qui captif en Russie sans livres, reconstitua toutes les mathématiques de mémoire. Il dirigea polytechnique et démontra automatiquement des théorèmes à partir d'un principe de dualité consistant par exemple à échanger les mots "point" et "droite" des textes mathématiques. Chasles ne fut pas en reste et dualisa translations et rotations: il a même dit: 

"Peut-on prévoir même où s’arrêteraient les conséquences d’un tel principe de dualité ? Après avoir lié deux à deux tous les phénomènes de la nature et les lois mathématiques qui les gouvernent, ce principe ne remonterait il point aux causes même de ces phénomènes ?"

Olivia 

Les préoccupations exprimées par une certaine Olivia Caramello (1) (une lointaine cousine à moi) sont de ce type (2). Mieux, elle les théorise et les prouve avec créativité dans un domaine assez poilu, et qui me dépasse entièrement. Néanmoins, vu l'intérêt philosophique de la chose, comme questionné en (3) avec brio, on ne peut passer à coté. Les vidéos sont saisissantes, bien mieux que pas mal d'autres: une fascination multiple, donc.

Il s'agit d'une jeune mathématicienne, en gros la Grothendieck italienne, qui semble bien, par la relative clarté des généralisations vantardes qu'elle se permet de faire (ce qui fait que certains la détestent), avoir découvert ou exhumé, et cela toute seule, une modélisation de ce principe dans un cadre assez général, bien que pas absolument général (4). Il s'agit bien en tout cas, d'une enfant prodige; son intelligence brute et son apparente capacité à embrasser des espaces immenses de compréhension semblent énormes: ses vidéos sont hallucinantes.

On avait évoqué ici par allusion le fait (d'ailleurs déploré) que certains théorèmes pouvaient devenir triviaux si on les envisageait dans des cadres "non standards". L'entourloupe en question fâche bien sur les tacherons, ceux qui habitués aux tables de logs, pestent contre les calculettes, "trop faciles" à manipuler. La situation, vieille comme le monde, est l'essence de la civilisation scientifique et technicienne où nous vivons, et la caractérise (la civilisation) bien mieux que beaucoup d'autres lieux communs. 

Bien sur on est là dans la théorie des catégories, et aussi des topos, une sorte de catégorie inventée par le très turbulent Alexandre Grothendieck, et résolument opaque, du moins à première vue. Un point intéressant est qu'on est là directement, et pas "généralement", comme dans les catégories cul cul que tout le monde comprend, dans la modélisation des théories mathématiques elles mêmes. 

D'abord, on ne peut que se réjouir de voir celles ci (les théories) se voir regroupées par paquets de dix mille et rangées autour de la table en fonction de leurs odeurs corporelles propres. Car la totalité de ces théories, chacune valorisant un égo plus génial que l'autre, commençe à devenir vraiment énorme: les maths contemporaines sont en explosion et les débris qui commencent à sortir du cône de perception sont trop nombreux et trop rapides à fuir. Il faut non seulement automatiser leur production, mais les classifier à priori et surtout vérifier qu'ils ne sont pas tous équivalents, en fait... 

Pardon de ce jugement de crétin des alpes ignorant, mais je ne suis qu'un béotien inculte totalement sidéré par l'extérieure beauté et l'absolument incompréhensible mur de complexité des sujets et des objets mathématiques en général. Euclide lui même ne s'y retrouverait pas, c'est dire. Voir émerger quelques idées générales un peu plaisantes sur ces sujets est un régal, et je ne m'en priverais pas. 

Surtout que la dame est critiquée par toute une bande de vieux chnoques qui apparemment n'ont rien vu venir, en cinquante ans de grenouillage catégorisant: elle leur balance des généralités avec culot alors qu'elle semble à peine sortir du berceau, avec ses tresses, une tétine dans une main, une licorne dans l'autre. Serait elle les jumeaux Bogdanov des maths, avec moins de succès auprès des vieillards ? On verra bien, mais il semble qu'elle soit "backée" (4) (par Connes et Lafforgue par exemple). Si je me suis fait avoir par une escroticienne, et bien cela m'aura couté peu, mais fait marrer beaucoup et en plus je serai en bonne compagnie. En fait le fait qu'elle cite avec bonheur le vieux fou qui lui aussi se plaignait que la notion de topos était injustement traitée la renforce grandement. Il semblerait bien qu'un loup à l'avenir éclatant va bientôt se manifester, et elle souffre des mêmes désagréments qu'un grand déçu qui avait sans doute raison au moins sur ce point... 

On aura résumé brièvement les thèses de la dame, exprimée plus précisément par les topos classifiants, et les équivalences de Morita. La dame construit les arches des "ponts" qui relient les théories par leur topos classifiants. Des structures propres à ce topos sont responsables des structures communes à ces théories. 

Il faut noter (et c'est ce qu'on lui reproche, d'évoquer trop "personnellement" des vieilles notions) que la notion de topos classifiant date des années 70, et que les idées qu'elle agite sont anciennes, méconnues ou connues c'est selon, mais anciennes. Elle innove toutefois, d'après ses profs: un programme d'étude gigantesque se met en place, un continent s'ouvre ! 

Grothendieck lui même dans l'abscon "récoltes et semailles" parle de "capturer l'essence commune aux situations mathématiques". Les topos, comme moyen d'unification de toutes les mathématiques, le "lit" ou "rivière profonde" dans lequel s'unifie continu et discontinu. L'ermite dément avait du souffle et il y pensait. 

Il y a des aspects intéressants concernant le calcul et les relations entre syntaxe et sémantique, certainement la considération la plus importante qui soit, et qu'on retrouve souvent dans mes fascinations. Disons qu'apparemment, on peut modéliser ces relations et dans un cadre mathématique, ce qui n'est pas commun. Caramello parle de refaire autrement la théorie des modèles, et si on peut ne rien y comprendre, on peut voir ce dont il s'agit... 

La métaphore du zéro est particulièrement éclairante: par son introduction on transforme en calcul homogène (1+0=0) ce qui aurait nécessité des méta mathématiques: quand on a quelque chose, ce n'est pas rien etc.  Le zéro introduit du calcul et ce calcul, celui qui permet d'appliquer des règles simples à ce qui aurait été compliqué, et bien c'est une transformation de modèle, un changement dans l'exploitation d'une signification. Par le biais d'une convention, par une syntaxe, on manipule le monde plus simplement. A l'inverse, le monde peut se trouver bien représenté par une convention complexe, mais opérative et donc manipulable, ou même mécanisable.

Y aurait il des mondes équivalents dans lesquels deviendrait faisable des choses infiniment complexes dans d'autres?

Sommes nous à la veille de possibles projections dans le monde calculable de multiples choses apparemment infaisables? 

La dame semble rendre possible une combinatoire infinie: à partir des invariants faciles à trouver, et en nombre infini d'un topos classifiant, on en déduirait de multiples résultats invisibles dans les théories classifiées. Une usine à théorèmes, qu'on pourrait automatiser... Les langages de démonstration automatique, pilotés par de grandes idées pourraient ils se déchaîner à une hauteur dont on a pas idée? 

L'explosion mathématique continue. 

En plus et tout ça est ainsi à la source de bien des espoirs: on voudrait déduire d'une représentation mathématique élargie les nécessités physiques du monde qui nous surprennent. Les topos seraient ils aussi ce qui permettrait de déduire les caractéristiques probabilistes du quantique ? On aurait alors l'incompréhensible du non réel des petits objets qui serait déduits de beaux théorèmes, et donc nécessaires. Ah la belle spéculation, déjà mentionnée ici et qui ne cessera jamais de me persuader: le réel est déductible, non pas optimal, mais nécessaire et seule possibilité. Réel qui donc deviendrait entièrement "spirituel". 

En tout état de cause, la notion de topos a donné lieu à des spéculations variées. On parle de "toposophie" pour désigner l'ensemble en question... En gros, les mathématiques seraient relatives aux topos (assimilés aux théories) dans lesquelles elles sont faites. Mieux, ils permettraient en fait une unification globale des maths, les différents points de vue, algébrique, et topologique étant en fait leurs expressions diversifiées. 

 

Les topos

On partira de la topologie pour expliquer le nom (on a lu (7)). En fait un espace "topologique" c'est là où il y a des parties, dites "ouvertes" (on parle plutôt, au masculin, d'"ouverts") qui s'assemblent et qui s'intersectionnent.

Un topos généralise tout ça, c'est le grand truc de Grothendieck. En même temps, un topos c'est une catégorie. 

Mais avant cela, il faut parler des sites et des faisceaux.

Un site généralise les treillis des ouverts en inclusions en exprimant l'inclusion par des morphismes qui se recouvrent et se complètent. 

Un faisceau est une sorte de morphisme multiple qui associe les ouverts à autre chose. En gros il s'agit d'associer des structures topologiques à des objets autres par exemple le plan à des volumes de manière à préserver (c'est toujours la même chose) des inclusions dans les deux mondes respectifs. Le faisceau désigne bien sur l'objet bizarre à l'arrivée, c'est comme ça qu'on le construit. Les fonctions continues forment un faisceau sur un espace topologique, par exemple...

On montera d'un cran en identifiant à un objet mathématique supplémentaire l'impossibilité (on dit "obstruction") de construire certain faisceaux... Cet objet se trouve membre d'une "groupe de cohomologie". On a ainsi toute une théorie de la cohomologie des faisceaux. Miam.

On peut appliquer la notion de faisceau à celle de site. Ca se généralise bien, (la généralisation, c'est le point fort de Grothendieck) et on se retrouve avec la catégorie des faisceaux sur un site, dont tous les machins qui lui sont équivalents sont, précisément, les topos. Capito?

Application immédiate: le topos ponctuel, catégorie des faisceaux sur l'espace réduit à un point, et bien, c'est la catégorie des ensembles... 

Quelques théorèmes sympas: la catégorie des ensembles sur lesquels opère un groupe est un topos. 

Et puis chaque topos est associé à une théorie de cohomologie (encore mieux). 

En gros et pour finir, un topos généralise la notion d'espace topologique. Bingo, une notion en moins, enfin. En fait, et c'est Grothendieck qui le dit lui même: "la notion de topos métamorphose la notion d'espace". 

Les ensembles

Déclarés obsolète par Benabou, mais aussi par Lawvere, Tierney et d'autres, la théorie des ensembles a plusieurs modèles et il se trouve que ces modèles sont précisément les topos, c'est ce qu'ils ont démontré. 

Et bien ce sont les topos de Lawvere et Tierney, dit élémentaires qui cachent ceux de Grothendieck: c'est pour cela qu'on interdisit à Olivia de prononcer le mot "topos". Y a t-il une mécanisation majeure de la production de théories mathématiques qui se profile ?   

(1)http://www.oliviacaramello.com/  Le site de la dame, en butte à des polémiques qu'elle entretient avec faconde.

(2) https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/diderot/20161214-hdr-caramello La présentation de sa thèse en 2016, avec les félicitations du gratin des maths françaises. 

(3) https://www.youtube.com/watch?v=sM_9R63qU6o Un interview passionnant, en rapport... 

(4) https://www.laurentlafforgue.org/math/TheorieCaramello.pdf Ce qu'en pense un medaillé fields

(5) https://arithmosophia.files.wordpress.com/2015/10/bell-development-of-categorical-logic.pdf

(6) https://www.youtube.com/watch?v=wFLZG_-HUSw : Où Jean Benabou nous dit que la théorie des ensembles est obsolète. 

 (7) http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch1topos.pdf : presque aussi pédagogique que moi !!!