Les taux

 

Les deux séries

On commencera par démontrer les deux formules donnant les séries arithmétiques et géométriques... 

Arithmétique

1 + 2 + 3 + ... + n

On la multiplie par deux en l'additionnant à elle même dans l'ordre inverse: 

n + (n-1) +  ... + 1

n(n+1) = 2 S et donc  :  

S=n(n+1)/2

Geométrique

Gn = 1 + a + a^2 + a^3 +... + a^n     Gn = Sigma (0, n)  a ^ i

Gn = 1 + a (Gn-1) // évidence

Gn = Gn-1 + a^n  // autre évidence

Gn-1 (a -1) + 1 - a^n = 0  // on soustrait les 2 évidences

S = a^(n+1) - 1 / a - 1

Valeur actualisée

La valeur ça s'use. Avec le temps.

Au temps n, une valeur a perdu la valeur qu'elle aurait gagnée si on l'avait placée au lieu de la garder. 

On mesure cela en "actualisant" une valeur future, c'est-à-dire en remontant en arrière depuis le futur.

VA = VF / (1 + t)^n   

"t" est le taux d'inflation, d'intérêt ou de rapport et "n" est le nombre d'annuités auxquelles se rapporte le taux. 

 

VAN NPV

Dans le vocabulaire des investissements, on doit calculer la "VAN" ou "Valeur Actuelle Nette", ou "NPV" = "Net Present Value".

En gros. On veut prévoir combien va rapporter un business de plusieurs années, si on prévoit que chaque année le business crachera tant et que l'inflation sur toute la période est connue. 

On veut donc faire la somme "actualisée" des éléments du flux de trésorerie craché, le flux étant formé de ce que va rapporter chaque année le business pendant un nombre d'années égal à "n".

"Actualiser" une somme S versée dans "i" ans au taux de "t", c'est calculer sa valeur "présente":

VA = S  / (1+t)^i

1/(1+t)^i    est le "facteur" ou "coefficient" d'actualisation à l'année "i", fonction d'un taux, le taux d'actualisation. 

La signification est (entre autres) :  S est l'annuité (intérêt à payer) à l'année "i" lors du prêt de VA. 

Supposons un prêt de X sur UN an. L'année prochaine, l'emprunteur devra payer X * (1 + t) au lieu de X. 

Si la somme payée  l'année prochaine est T, T est une valeur future, et  <T/(1+t)> sera la valeur "actualisée" de T payée l'année prochaine, valeur de maintenant, nécessairement inférieure. 

Il faut bien comprendre que T est une "représentation" du capital actuel dans "n" années et sa valeur actualisée, sa valeur "présente". 

Le capital actualisé TOTAL à l'issue de toutes les années qu'il passera dans le système sera la somme de toutes les valeurs actualisées. Cette somme sera la valeur "présente" du résultat total d'une série de fournitures de résultats donnés chaque année pendant un certain nombre d'années.

Si on la compare à la valeur d'un investissement engagé aujourd'hui et bien on aura un élément de comparaison exprimée avec les valeurs monétaires d'aujourd'hui...

Les valeurs non actualisées à considérer constituent des prévisions de prestations à venir chaque année suivante. À noter que l'investissement n'intervient en rien dans le calcul et doit simplement être soustrait à la valeur totale actualisée pour déterminer s'il a été rentable ou non. 

La somme des valeurs actualisées est le VAN ou le NPV. 

VAN = NPV = Sigma 1,n    Ti  / (1 + t)^ i  

Dans le cas général, toutes les valeurs de Ti sont distinctes et constituent les prévisions de prestation, certaines d'entre elles pouvant être négatives ! C'est le "flux" de trésorerie,  alimenté annuellement. 

Valeur des mensualités

Une conséquence immédiate de ce beau concept c'est la mensualité fixe que doit rapporter un prêt chaque année, ce qui donne comme cout de l'emprunt la somme de toutes les valeurs actualisées perçues pendant la durée de l'emprunt.

VAN = M Sigma(1,n)  1 / (1+t)^i   

VAN étant ici le capital prêté à l'année zéro. 

a = 1/1+t

C / M = - 1 +  a^(n+1) - 1  / a - 1     =      a^(n+1) - a       /     a - 1      

On a ajouté -1 car la série géométrique commence est Sigma(0, n).

1-a / a  =  t

M = C  1 - a / a (1 - a ^n  )  

M = NPM = C * t  / 1 - 1/(1+t)^ n 

Soit ca = 1/(1+t)^ n , le coefficient d'actualisation. 

NPM (1 - ca) = C*t 

"C*t"  est l'intérêt global, annuité d'un prêt "fin fine", c'est-à-dire dont le capital est n'est remboursé qu'à la fin et dont les annuités toutes égales. Il se distingue du prêt "à annuités constantes" qui rembourse à chaque annuité une partie du capital avec les intérêts, à annuité constante aussi, mais qui ne rembourse rien à la fin. 

Le prêt "in fine"

Reprenons le prêt "in fine". Calculons les valeurs actualisées de l'investissement. 

On a la somme du paiement à l'année n du capital actualisé comme il se doit, et la somme des intérêts actualisés:

VA = C/(1+t)^n  +  Sigma(1,n) C*t/(1+t)^i     

Un rapide calcul montre que VA = Sn se réduit en Sn-1 puis en S1 = C

Le prêt in fine est un investissement neutre, le prêteur n'a ni perdu ni gagné. 

C'est de plus EXACTEMENT, l'actualisation de la somme des actualisations des mensualités du prêt à annuités constantes. Évidemment. Les deux types de prêt sont strictement équivalents du point de vue des deux acteurs de l'échange.

Payer son loyer à la fin

Payer son loyer à la fin revient à rembourser un prêt amortissable à la fin, empêchant le prêteur d'investir le loyer au taux de ce prêt amortissable là.

L'investissement que ferait la prêteur rapporterait: L * ( 1 + (1+t) + ... (1+t) ^ (n-1)  ) =

L * ( (1 + t)^n - 1  ) / t 

 

Taux actuariel

Un taux est donné "annuel", mais en fait , les remboursements sont mensuels, et donc (et oui) le vrai taux n'est pas le taux nominal annuel. En effet, l'actualisation mensuelle se fait avec le taux mensuel  t/12 

(1 + t/12)^ 12  est le facteur d'actualisation au bout d'un an. 

Conventionnellement on rend ce facteur d'actualisation "normal" en l'égalisant à 1 + ta.

"ta" est le taux "actuariel", plus précis et synthétique, mais obtenu après agrégation des taux en vigueur. 

Ainsi, le TAEG Taux Annuel Effectif Global, légalisé par l'Union Européenne est le taux actuariel du TEG, le vieux taux effectif global, taux calculé en agrégeant tous les frais liés au prêt. C'est le taux à déclarer par les établissements de crédit. 

La notion de taux actuariel est également liée à l'agrégation des différents taux appliqués en général à un flux de valeurs différentes à actualiser. Le taux actuariel est le taux constant qui appliqué à tous les remboursements donnera la valeur actualisée, il est un synthèse, et donc faux en principe. 

 

Méthode Lombarde 

Pour calculer des intérêts "par jour", les lombard, ces fainéants du Moyen Âge (et leurs successeurs, les ignobles banquiers), divisaient les intérêts dus par 360 après avoir multiplié par 365, ce qui augmentait les intérêts dus par le préteur. Cette pratique honteuse est interdite en France depuis 2017 pour les prêts immobiliers... 

 

HP 70 

La calculette HP 70 disponible depuis 1974, donne un interface utilisateur à tout ça, grâce aux boutons 

<PV> (present value) ou <FV> (future value) exclusive 

<i>(annual interest rate in percent)

<n> (number of years)

<PMT> (annual payment including interest) donne la valeur 

avec 3 de ces 4 valeurs pré-positionnées, on obtient celle qui manque en demandant. 

Cela donne ainsi une belle égalité convaincante, permettant d'identifier prêts amortissables et in fine. 

En dix ans à 10%, l'amortissement annuel de 1000 est 162.75 soit un intérêt total de 627.45, sachant que 1000 est la valeur future de 385.54, amortissable de la même manière pour un cout total de 627.45.