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Les nombres

On se permettra de digresser sur les nombres, la question "qu'est ce qu'un nombre?" valant bien la question duale "qu'est ce qu'une femme?"... 

Un nombre est une classe d'équivalence d'ensembles pour la relation de bijection. 

La définition s'étend bien sûr aux ensembles infinis et le tour est joué. 

On notera que la non injection en a et b signifie que le domaine a est "plus grand" que b et que la non surjection qu'il est "plus petit".

Reprenons:

L'injection suppose que deux sources distinctes ont forcément deux destinations distinctes. Cela est impossible si l'ensemble des sources est "trop grand". Une fois toutes les sources allouées, le résidu devra utiliser des destinations déjà atteintes. 

La surjection suppose que toutes les destinations sont atteintes. Cela est impossible si l'ensemble des sources est "trop petit". Une fois toutes les sources allouées, il reste des destinations non atteintes.

Cette définition permet de considérer l'infini comme  un nombre, mais dans un sens spécial. En effet, depuis Aristote l'infini a deux acceptions: l'une comme quantité, l'autre comme numéro d'ordre, l'impossibilité de la quantification empêchant toute identification d'un objet défini comme essentiellement privatif: l'infini est, négativement, le non fini. 

On en vient alors à une définition de l'infini comme essentiellement "potentiel", l'infini en acte ne pouvant être matériel et donc réservé au divin, donc mystérieux. 

Une manière de définir l'infini d'une manière inversée est celle de Dedekind: "est infini ce qui est semblable à l'une de ses partie propres". Le fini est alors défini négativement, ce qui est original et se trouve être la première définition positive d'un indubitable, qui plus est caractérisé. 

Cantor invente alors les deux concepts fondamentaux de l'infini moderne, le "cardinal" et l'"ordinal". Il qualifie lui-même les deux concepts comme de "nouvelles irrationalités".

- Le cardinal (d'un ensemble) est le "nombre", la "puissance" d'un ensemble, en gros sa grosseur infinie ou non. Le cardinal du plus petit ensemble infini est ainsi Aleph 0. N0. 

- L'ordinal est un nombre spécial, égal à la suite des ordinaux qui le précède. Le premier ordinal non fini est omega, "w".

Les deux concepts sont distincts à l'infini est strictement similaires pour ce qui concerne le fini, le cardinal d'un ensemble fini étant donné par un ordinal fini qui est un nombre entier.

Cantor, de manière surprenante, ne croyait pas aux infiniment petits (et les combattait !) et le fait que la description des infinitésimaux ne se fera au XIXème siècle qu'avec la notion de limite, qui réactualise la notion d'infini "potentiel". C'est l'analyse "non standard" (Robinson) qui traita la chose au XXème siècle. 

 

 

 

(1) la lecture: https://www.academia.edu/372421/Georg_Cantor_et_la_d%C3%A9couverte_des_infinis?email_work_card=view-paper

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