Logique et catégories

Les catégories ont un rapport avec la logique (1).

Le refus de Bourbaki des catégories

Mais d'abord, le fait que Bourbaki, le groupe de matheux qui voulaient unifier les maths et qui inspirèrent mon cher programme de sixième au sujet des ensembles (ah que j'aimais ces petits points et ces flèches, en plus j'étais super fort là dedans...), refusèrent les catégories !!! Grothendieck en désaccord avec André Weil à ce sujet, quitta le groupe(2). La notion de "catégorie" clashait avec celle de "structure", voilà toute l'histoire... 

Il est très intéressant que le point de vue de Grothendieck  consiste à refuser de laisser le foncteur rester dans la méta mathématique, et à vouloir ajouter un axiome à la théorie des ensembles, l'axiome des univers ! 

"Ad majorem fonctori gloriam" annonce la démission de Grothendieck et l'ignorance par Bourbaki des catégories...

On parle aussi du "foncteur qui sonne deux fois".

Au passage, la question des "métamathématiques" est posée. Qu'est ce que cette chose? 

Au départ, il s'agissait pour Hilbert de donner un cadre à la démonstration de la consistance de l'arithmétique. 

C'est cela qu'il nous faut comprendre. 

D'abord il y a un problème ontologique: les catégories introduisent d'autres objets que les ensembles (les fonctions) et les font passer de l'un à l'autre. Grothendieck était un spécialiste du battage de cartes à l'infini et on peut s'y perdre tu parles. Piaget s'était intéressé à la chose car manipulant la dualité objet opération dans l'apprentissage... Et puis le pragmatisme de Pierce (quand la connaissance ne se distingue pas des moyens de la connaissance, quand ontologie égale épistémologie) serait aussi un moyen de comprendre. 

On s'amusera de la vision des catégories par Badiou (8), les catégories étant la vision de Dieu de tous les mondes possibles, et les ensembles la vision Leibnitzienne du monde le meilleur réalisé... Le Maoïsme rend généralisateur. 

Mais surtout, on sautera directement à l'expression d'un système déductif comme une catégorie comme les autres, les flèches composant telles le modus ponens, structure, structure. Mieux: une logique comme on la connait, c'est une "catégorie cartésienne fermée", un objet intéressant et utile. En gros, le calcul propositionnel intuitionniste s'obtient si on a une adjonction (voir détails en 9). L'intéressant avec ces structures là, c'est qu'on peu calculer et hop, curry howard pour donner un sens à tout cela... 

 

Philosophie des mathématiques

Et puis il y a la question des maths, et aussi de la logique et de leur philosophie, et bien sur la question du réalisme. 

Commençons par caractériser la connaissance scientifique comme classiquement: "vraie et aussi justifiée".

Bennaceraf

On doit évoquer le dilemne de Bennaceraf. En gros, s'il y a des entités mathématiques extérieures, elles ne peuvent être connues, et si elles peuvent être connues, elles sont à portée de l'humain et donc dépendantes de lui. Une variante de l'exposé consiste à différencier les objets (mathématiques ou physiques) et la vérité à leur sujet. On doit choisir entre ontologie et épistémologie, l'objet et l'accès à l'objet. 

SOAP il me semblait avoir compris avec Kant, qu'il y avait une solution: des objets existants extérieurs inconnaissables et une perception possible de leurs effets à travers des théories soumises à l'expérience. En tout cas, les neurologues (cette variante du pédagogisme qui fait fureur en ce moment) nous expliquent que les maths sont issus de l'activité humaine et ne SONTPAS des entités extérieures à découvrir. Nous avons des organes numériques.  

Gödel était un réaliste forcené: son incomplétude était pour lui une propriété du réel, et l'"objet" de l'indécidabilité parfaitement palpable, la preuve il l'avait palpée... 

Frege était un anti empiriste: le mathématique était pour lui analytique a priori, et le reste des sciences synthétique a postériori, totalement dépendant lui de l'expérience.  Même après l'abandon du logicisme, Carnap continuait à être de ce bord là.

L'argument, un peu spécieux, s'exprime en un dilemne, et se trouve assez irritant. Il me semble que le fait d'être à portée de l'humain "épistémologiquement" semble un peu trop mis en équivalence avec "être dépendant de l'humain". Et les noumènes là  dedans? Ils pourraient très bien être la condition même de leur représentations et donc seules choses existantes, l'être individualisé y compris, les personnes et les sujets n'étant que des flots de pensées, des exemples, des applications...

 

Philosophie de la Logique 

Les syllogismes

D'abord d'après Aristote, il y a 24 syllogismes concluants sur un total de 256 possibles. Ils sont nommés tels les insectes en 4 groupes de 6.

Barbara, Barbari, Celaront, Celarent, Cesaro, Cesare, Camestres, Camestros, Darapti, Datisi, Felapton, Ferison, Camenes, Calemos, Fesapo, Fresison, Bamalip, Dimatis, Datisis, Disamis, Darapti, Festino, Ferio, Darii.

Il s'agit en fait de combinatoire pure suivant les modes donnés aux deux prémisses, quantificateur, négateur etc. 

Dans l'organon, il y a aussi les catégories. On en avait parlé, je ne sais plus où. Ce sont les "chefs d'accusations" de l'être, et elles sont dix: la substance, la quantité, la qualité, la relation, le lieu, le temps, la position, la possession, l'action, la passion. On notera que l'action c'est "bruler" et la passion c'est "brulé". On notera aussi que la substance, c'est aussi l'essence. 

En philosophie de la logique on distinguera (avec 6) 3 points de vue, suivant qu'on est atomiste comme Frege, sentencieux comme le second stein et Carnap, ou Holiste comme Quine. 

Les logiques 

Alors que Kant ne voyait qu'une seule logique, définitive et assurée, il semble bien qu'il y en ait en fait plusieurs, et cela au delà de LK et LI. Conçues comme des structures, euh, comme des catégories, elles sont des objets mathématiques comme les autres... Toute la question est alors celle du statut de l'analytique lui même, que la modernité remet en question, avec le concept de vrai lui même d'ailleurs.

Au passage ce sont bien les 3 sciences et les 3 principes qui sont ainsi démontées, le vrai de la logique, le beau de l'esthétique et le bien de l'éthique. Les 3 sciences normatives, donc. Prenons les toutes d'un coup: elles agissent dans un même espace immense, sans obliger à quoique ce soit pourtant: pas plus que le vrai, le bon et le beau n'imposent pas d'agir et là est sans doute la clé des refus et des scepticismes

Signification et Logique

On poursuit ici ce qu'on disait dans "Les significations" 

http://francoiscarmignola.hautetfort.com/archive/2018/03/04/la-signification-6031363.html

C'est bien la règle de déduction qui devient porteuse exclusive de la signification de la logique. Exit la vérité comme condition de la signification... Voilà l'anti-réalisme de Girard ! Et bien, si à mon avis il n'enlève rien au réalisme de la structure "réelle" de tout ça, il lève, et cela est courant dans l'histoire de la philosophie, un beau perdreau. 

En fait c'est Prawitz qui fut en pointe dans tout ça (4). Prawitz et Dummet. En gros, le "dilemne" de Prawitz condamne le "platonisme" (défini comme identifiant signification et relation à la vérité) comme inutile si on se ramène à la provabilité et sans fondements si le vrai n'a pas de conséquences empiriques. 

C'est Dummet qui dit: "on ne peut communiquer que ce qu'on peut observer qu'on communique". 

Mais tout vient de Curry Howard en fait: que la preuve soit programme, et que la signification du programme soit bien évidemment son exécution (le fromage, ça se mange) montre que la signification c'est la preuve bien sur ! 

Bien sur, la non identification définitive entre prouvabilité et signification (je n'ose dire "vérité") étant démontrée, la distinction absolue entre Logique et Mathématiques, malgré les belles tentatives de Leibnitz et des des logicistes du XXème siècle est maintenant consommée. 

Et voilà pourquoi Girard hurle... 

Histoire

Mais il n'y a pas que. Inventé par Eilenberg et McLane en 1945, les catégories furent utilisées par William Lawvere en 63 pour refaire la logique, sémantique et syntaxe, dans une "categorical logic", il parlait de "functorial semantics". Il identifia à une catégorie particulière une théorie algébrique et à un foncteur vers la catégorie des ensembles son modèle, et les quantificateurs avec les foncteurs adjoints à gauche et à droite. Il introduisit une notion de "truth object" bien mystérieux. Et puis il y eut les topos, des catégories tordues, qui permirent bien des spéculations. 

Les recherches sur les topos furent nombreuses, et y a pas que Grothendieck dans la vie. On trouva par exemple une relation entre axiome du choix et loi du tiers exclu... On en reparlera. Au passage, il y a bien une équivalence entre le théorème de Gödel (celui de complétude, complété et simplifié par Henkin ) et un certain théorème de Deligne sur certains topos particuliers...  

 

(1) LES logiques: https://papyrus.bib.umontreal.ca/xmlui/bitstream/handle/1866/6066/Poirier_Sebastien_2011_memoire.pdf

(2) http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/12/pdf/smf_rhm_12_119-162.pdf

(3) https://www.unige.ch/lettres/philo/enseignants/pe/Engel%202000%20Peut-on%20naturaliser%20le%20platonisme%20mathematique.pdf

(4) http://books.openedition.org/psorbonne/315?lang=fr

(5) https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00617305/file/bonnay_dubucs_philosophie_des_mathematiques.pdf

(6) Engel: les paradoxes logiques https://www.unige.ch/lettres/philo/enseignants/pe/Engel%202007%20La%20logique%20-%20trois%20paradoxes.pdf

(7) Pierce et les catégories http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/524

(8) Badiou les categories http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

(9) Catégories en détail http://lecomte.al.free.fr/ressources/PARIS8_LSL/SML-CatNewPlus.pdf