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  • Les bayésiens

    La question de la probabilité a deux grandes interprétations, dont la première, celle basée sur l'émergence d'une ratio hors d'un grand nombre de cas dont les fréquences relatives finissent sous l'effet du nombre par devenir absolues et suivent des règles intangibles promues au rang de lois, domine et fait l'examen des expériences scientifiques.

    La seconde, est elle basée sur l'incertitude chiffrée d'un examinateur subjectif regardant quelques cas qui confirment sans preuves véritables l'incertain... Les bayésiens sont des lascars obstinés et continuent de fasciner, voire d'opérer et cela partout. 

    On en vient au probabilités qui font l'objet de formalisations mathématiques variées, mais on ne peut se départir de chercher des formes intuitives à ce qui continue de fasciner pour des raisons évidentes: la prédiction de l'avenir reste l'incontournable forme du coté attirant du savoir: comment ? Vous sauriez le futur ? Et oui, car je connais le passé et ses lois...

    Pour commencer et pour mettre les choses au clair, la polémique entre bayésiens et fréquentistes a ainsi DEUX aspects qui n'ont rien à voir en apparence, alors que. 

    Le premier est la divergence sur l'interprétation de la notion même de probabilité: mesure de la confiance ou limite d'une fréquence de mesure répétée ?

    Le second est la la divergence sur la manière dont on calcule, les bayésiens partant d'une situation "a priori" que les fréquentistes contestent, cette situation à priori étant justifiée par l'interprétation bayésienne de la probabilité...

    Le Sida

    Connaissant le caractère mental du sida, on explorera le cas de base, celui du test d'hypothèse, en partant d'une prévalence du Sida de 1% dans population et d'un test rapide efficace à 99% dans ses deux caractères de "sensibilité" (pourcentage des sujets infectés dont le test est positif) et de "spécificité" (pourcentage de sujets non infectées dont le test est négatif). 

    On remarquera l'utilisation du mot "sujet", alors qu'il s'agit bien sur d'objets, personnes innocentes à laisser tranquille ou à plaindre d'une mort atroce.

    A partir de là on affirmera que si la prévalence du mal est (dix moins "q"= 10^-q)  et la précision du test (1 - dix moins "s" = 1 - 10^-s) , et bien la probabilité d'être atteint quand le test est positif sera :

    1  / 1 + 10^(q - s)  

    ce qui fait  exactement 1/2 dans le cas explicité ici où q = s = 2. 

    La démonstration

    On utilisera un arbre de manière à établir le plus vite possible les 4 probabilités des 4 cas. 2 modalités (oui/non on a le sida ou non, et ok/nok, le test est positif ou non). Cela doit être calculé en fonction des données données, et interprété suivant le sens des mots.

    Par exemple ici oui = 10^-q,  quand q=2, 1%. 

    Le point important, en fait fondamental, dans les probabilités croisées, est d'établir les grandes régions aggrégantes par exemple la région "oui", divisée par les régions "ok" et "nok", la question posée étant celle de la probabilité dite conditionnelle suivante: "oui sachant ok", c'est à dire la division par la probabilité de ok de la probabilité d'être à la fois oui et ok. Les grandes régions sont ainsi bien sur oui, ok , non et nok elles-mêmes interpénétrées mutuellement. 

    On en vient à la première définition "bayésienne": la probabilité de "A sachant B" est : P(A/B) = P (A^B) : P(B) 

    qui définit la probabilité dite conditionnelle, le symbole de la division étant : et le "^" exprimant bien sur l'intersection, ou le "à la fois", qui bien sur n'est en aucun cas une multiplication des probabilités correspondantes. 

    On en déduit d'ailleurs immédiatement le fameux théorème qui n'en est pas un, d'ailleurs, étant immédiatement issu de la définition de la probabilité conditionnelle. La probabilité de A^B ("A inter B") étant évidemment égale à

    P(A/B)*P(B) et à P(B/A)*P(A) par conséquent égaux eux-mêmes et donc: 

    1200px-Bayes'_Theorem_MMB_01.jpg

    On passera donc immédiatement sur cette histoire de "théorème" parfaitement fétichisée et sans aucun intérêt d'ailleurs, sinon le fait qu'il affirme simultanément deux fois un bête définition pour une expression linguistique elle dotée de sens, le fameux "a sachant b" qui apparait fréquemment dans les questions et les réponses des vrais problèmes. On a donc un contresens (un théorème qui n'en est pas un) pour une signification profonde (on exprime des vérités dotées de sens à travers des formes calculatoires non totalement triviales). 

    On ajoutera aussi aux "trucs" de Bayes la "décomposition" ultra utile et également directement issue de la définition de la conditionnalité:  X = P(X/A).P(A) + P(X/B).P(B)  

    Ainsi, pour répondre à la question fondamentale et terrible "ai-je le sida quand je suis positif ? ", on doit calculer une probabilité conditionnelle en en connaissant deux. 

    La première, la question angoissée est "oui sachant ok".

    Les deux données sont ce qui caractérise le test : la sensibilité,  soit "ok sachant oui" l'inverse de la question, et la spécificité "nok sachant non". On les supposera égales. Soit S= 10^-s et Q = 10^-q

    ok/oui = nok/non = 1 - S = 1 - ok/non , ok/non  = S

    On en vient alors à la question posée. 

    oui/ok = ok/oui . oui : ok 

    Or,  ok = ok/oui.oui + ok/non.non , comme on l'a vu, c'est ce que j'ai appelé la "décomposition de Bayes". 

    Donc: 

    1 : oui/ok = 1 + ok/non.non : ok/oui . oui   

    =  1 +   S (1- Q) / (1 - S) Q  

    = 1 + 10^q-s   (1 - 10^-q)/ 1 - 10^-s)  

    Ce qu'il fallait démontrer, le facteur correctif valant 1 en gros dans la plupart des cas. 

    Si s = 2 et q 4  (prévalance de 1 pour 10 000, soit 0,01%) 

    resultat = 1 : (1 + 10^4-2 (.9999/.99))  = 1 : 101 * (1.01) = 0,01% 

    Plus la prévalence est faible, disons inférieure à la sensibilité du test, moins le résultat est inquiétant... En fait et c'est la grande leçon, il faut pour que le test prévoie plus qu'une possibilité non nulle, que sa sensibilité soit supérieure à la prévalence...

    Ainsi un test sensible positif peut ne PAS entrainer d'inférence statistique en faveur de l'hypothèse qu'il teste. Cette erreur est l'"erreur du taux de base négligé". 

    Q de Yule

    Au fait si on examine les 4 cas possibles, sujet atteint (V/F) et test positif ou non (P/N), A, B, C, D avec 

    A=PV, B=PF, C=NV, D=NF, le coefficient Q de Yule va désigner l'efficacité du test  Q = AD-BC/AD+BC

    Le bayésianisme

    C'est alors qu'on en vient à l'interprétation. Que signifie ces chiffres, se disant être des "probabilités" ? Des probabilités de "quoi" ? On a deux théories. 

    La première est qu'il s'agit de la probabilité d'un événement considéré comme une mesure de sa fréquence d'apparition, la seconde est qu'il s'agit d'une mesure de la croyance en sa réalisation.

    La chose n'existe pas, elle n'est qu'une possible apparition, mesurée par son existence parmi une multiplicité d'autres, ou bien par un degré de croyance, subjectif mais quantifié, en son apparition.      

    L'attitude

    Mais avant de gloser davantage, il convient de revenir aux fondamentaux. On se positionnera ici comme un statisticien expérimentateur dont on doit de décrire la posture et l'attitude  "typique".

    D'abord il y a une réalité qu'il mesure, et qui se comporte conformément à un modèle statistique. On fait un test, et la question est: est qu'il s'est passé quelque chose qui dévie du modèle statistique ? 

    L'hypothèse de base  est que non, il ne va rien se passer: l'hypothèse dite "nulle" sera  vérifiée: le monde est bien conforme au modèle évoqué et le test lui appartient. A moins que, et là on discute. Dans certaines circonstances, il va falloir décider de rejeter l'hypothèse nulle et d'adopter l'hypothèse alternative. Dans lesquelles ? 

    Le test se traduit par une distribution de probabilité, disons par un pic, qu'on va positionner par rapport au modèle connu. Pour cela, on va calculer une valeur dite "p-value" ou "valeur p" qui va être la probabilité pour que dans le modèle connu, on soit encore éloigné encore plus de la moyenne connue que la mesure. Si l'hypothèse zéro est représentée par une densité de probabilité, on va l'intégrer au delà de la valeur moyenne de la mesure test.

    Cette probabilité va alors être comparée à un seuil, par exemple 5% ou 1% et si elle est plus petite, alors là on va comencer à douter de l'hypothèse zéro, voire la rejeter. Une mesure répétée se doit d'être DANS la courbe du monde tel qu'il décrit, ou bien elle n'est pas bonne. Pas bonne ? Au contraire, comme elle est une expérience, c'est elle qui EST bonne, et c'est la description a priori du monde qui doit être rejetée. 

    A noter que l'anormalité de la mesure par rapport à une description qui se trouve fausse se trouve mesurée dans le cadre de la fausseté, qui se trouve alors prouvée comme incohérente avec le réel et donc fausse... 

    On notera qu'il y a dans le monde fréquentiste deux attitudes, celle du vénérable Fisher qui veut prouver rationnellement et celle du moderne Pearson qui veut lui décider. Les deux attitudes sont mixées dans les pratiques scientifiques courantes. Notons que Fisher adopte une attitude Popérienne: l'hypothèse nulle est la référence et reste une hypothèse réfutable. Quand quelque chose de bizarre se  produit, soit il s'agit d'un évènement rare possible et compatible avec la nullité de l'hypothèse, soit celle ci doit être remise en cause. C'est la fameuse "disjonction de Fisher" qui caractérise l'asymétrie Poperienne, critiquée par ailleurs.

     

    La Gaussienne

    Dans tous les cas, on se retrouve bien sur avec la répartition des observations possibles sur une gaussienne... 

    C'est la fameuse courbe en cloche, archétype de la courbe de densité de probabilité, limite continue des diagrammes en batons donnant la probabilité d'un bloc de valeurs.  

    Central Limite

    De fait, le "théorème central limite" affirme que la somme de n lois gaussiennes d'écard type sigma donnera une loi gaussienne d'écard type sigma/racine(n). Plus n est grand, plus l'écard type final sera petit.

    Le fameux théorème, merveille de la nature s'applique même si les lois des échantillons ne sont pas gaussiennes: dans ce cas, le résultat sera en cloche, mais avec un écard type non calculé ou à calculer... 

    C'est ce qui justifie les sondages: si on prend un échantillon "assez" grand de taille N (la limite est 30), son écard type sera l'écard type de la "vraie" situation multiplié par racine(N). En fait c'est l'inverse c'est à dire que c'est l'écard type de l'échantillon qui divisé par racine(N) donne le "vrai" écard type... Celui ci est forcément petit: il "affine" les échantillons.

    Mais bon, l'écard type sigma d'un échantillon permet ainsi de calculer de manière "sure" le vrai écard type... A partir de là l'intervalle de confiance de la moyenne de l'échantillon, qui elle est imprécise, sera de plusoumoins 2*sigma/racine(N) à 4 sigma et on peut y aller (programme de seconde).

    On remarque que g(2*sigma, sigma) vaut 0,05 pour sigma valant 1, il suffit de regarder le dessin d'ailleurs. Mais en fait, le coup des 95% est en fait l'intégrale de la gaussienne entre -2*sigma et +2*sigma, qui vaut 0,95... On dira que la moyenne effective est donnée par la moyenne de l'échantillon "avec une confiance de 95%". 

    Revenons au théorème central limite; sa formulation exacte est que la limite de la somme de tout ensemble de lois d'écards types sigma dans un intervalle donné, divisé par sigma*racine(n) et centrées sur leurs moyennes sera l'intégrale de la gaussienne centrée réduite sur cet intervalle. La division par sigma permet de se ramener à la courbe archétype.

    ILa Gaussienne centrée réduite

    Rappelons que la fameuse courbe centrée sur zéro si elle a un paramètre sigma de 1, représente une distribution de probabilités dont l'écart type est sigma, a pour valeur maximale 0.4, est quasiment nulle en 3, et a pour valeur en 1 0.25. L'intégrale de la courbe est bien sur UN. 

    gaussienne.png

      

    On notera l'utilisation de sigma, ici UN, le "3 sigma", opportunément transformé en "6 sigma" pour prendre toute la largeur de la courbe, et qui caractérise toutes les possibilités pour un objet d'être DANS l'hypothèse nulle. De fait, être hors du 6 sigma, c'est vraiment mal, ça ne devrait jamais se produire, et l'hypothèse nulle doit être rejetée... 

    Linguistiquement, le 6 sigma est un critère de qualité, il permet, quand on VEUT imposer l'hypothèse nulle, de rejeter la mesure, comme non conforme au critère, quand on veut imposer soit la vérité absolue de l'hypothèse, soit une "politique" de qualité. L'objet fabriqué selon la mesure foireuse peut alors être poubellisé. 

    On va alors considérer le 4 sigma. Et bien il se trouve, et cela reste à démontrer que l'on a là précisément le fameux intervalle de confiance à 95 % dont tout le monde parle !! En gros, l'intervalle de confiance c'est  plusmoins 2 sigma.

    Pour le démontrer, fastoche. La loi gaussienne réduite ci dessus a pour équation

    g(x,sigma) = exp(-x^2/2*sigma^2) / sigma*racine(2*PI)  avec sigma == 1

    Courbe de densité de probabilité, dont l'intégrale dit "gaussienne" vaut 1 entre moins et plus l'infini. 

    ll se trouve que cette intégrale n'a pas de formule simple, et n'est donnée que par des tables ! Par exemple le fameux 0,95 est incalculable à la main et ne vaut en fait non pas pour 2, mais pour 1,96.... La fonction PHI, répartition de la gaussienne de moins l'infini à x n'a pas d'expression analytique ! 

    Un autre point est qu'on peut aussi jouer avec la forme initiale du théorème, qui partait d'une somme de "lois" (ou de "distributions") binomiales (les tirages à pile ou face avec une pièce truquée). Ces sommes de lois sont appellées aussi "de Bernouilli", le tirage principal ayant la probabilité "p", et on fait "N" tirages. La "loi" c'est la probabilité d'obtenir k fois la bonne face, avec k entre 0 et n. La loi c'est:

    C(n, k) p^k (1-p)^(n-k))

    Quand N tend vers l'infini, cette loi, dont l'écard type est racine(p*(1-p)*N), centrée sur sa moyenne N*p, et divisée par son écard type, tend vers la gaussienne centrée réduite.

    Un peu d'histoire

    Laplace brilla avec cette histoire, en appliquant son raisonnement, tout issu des lumières, à la proportion de naissance de garçons dans la population qui se trouve supérieur à celui des filles, et cela partout en Europe, dans un rapport de 22 à 21. Or, en cinq ans, sur 2009 naissances à Carcelles le Grignon on observa la naissance de 1026 filles. Et bien cela est à l'intérieur de l'intervalle de confiance à 2 sigma ! Laplace exprime la chose en se ramenant au jeu de "croix" et "pile": la probabilité pour que cela arrive est inférieure à celle de tirer 4 fois "croix" de suite et donc non significative.

    Les lois dérivées de la loi normale.

    On a deux lois dérivées de la gaussienne, et qui servent dans les tests d'hypothèses. 

    D'abord quand le nombre d'éléments d'un échantillon test est inférieur à 30, on n'a pas la loi normale comme aggrégation des échantillons, mais la loi de Student à N degrés de libertés, N étant la taille de l'échantillon - 1, sachant que les probabilités ont pour somme 1. On fait comme avec la loi normale, à part qu'on regarde dans la table de Student. 

    kiki hideux

    Et puis on a le Khi 2, X^2. Là c'est tout une poème car cela ne ressort pas du test d'hypothèses à proprement parler, mais d'un autre types de test, quoique la même méthodologie soit mise en oeuvre. 

    Le test archétype est celui de l'indépendance de deux caractères. On part d'une distribution en n caractères (n plus petit que 10, ce sont les degrés de liberté) et on compare avec une distribution test.

    Le Sida encore

    Reprenons en considérant la valeur-p pour le test du Sida. L'hypothèse nulle est de ne pas avoir le Sida, bien sur... Le test est positif, ce qui n'arrive que dans 1% des cas. C'est super faible n'est ce pas ? Et bien non ! Cela n'est pas du à la gaussienne, mais à la prévalence et au fait que la valeur-p ... TBD

    Le facteur bayésien est considéré supérieur, il s'agit de calculer H0/x : H1/x  , le rapport des vraisemblances. 

    Pour ce qui concerne notre cas, on obtient oui/ok : (1 - oui/ok) = 10^(s-q).

    Plus q est  grand, c'est à dire que la prévalence est faible, et bien on mesure l'insignifiance du test, c'est à dire son incapacité à contrer l'hypothèse nulle. Au contraire, si la sensibilité suffisante, le facteur sera supérieur à UN, et donc le test "fort": on pourra alors avoir le sida... 

    Le facteur de Bayes est un bien meilleur estimateur que la p-value ! 

     

    Le diagnostic

    La situation du diagnostic est bien évidemment le parangon de tout. 

     

    (1) http://www.laeuferpaar.de/Papers/Sprenger_Bayes+Freq.pdf

    (2) http://www.aly-abbara.com/utilitaires/statistiques/sensibilite_specificite_vpp_vpn.html#Q

    (3) Pearson, Fisher et Bayes: http://udsmed.u-strasbg.fr/labiostat/IMG/pdf/testfreq.pdf

  • Les islams

    En ces temps troublés où il n'y a pas de musulman non pris les armes à la main qui ne parle de réforme, tout comme d'ailleurs aussi leurs adversaires inexpiables qui sont aussi les nôtres, c'est dire si le sujet est important; il convient de décrire l'un des points fixes de cette fameuse réforme, tout en re-précisant son ancienneté, c'est dire si le sujet est futile. 

    On se rapportera à (1) et (2) pour plus de détails, le sujet fut déjà fouillé. 

    Je veux parler du Mutazilisme, l'apostrophe après le "mu" étant omis, notre maniérisme étant limité par notre fainéantisme. On en avait parlé en (1). On recommence. 

    Le Mutazilisme c'est d'abord celui qui s'abstient lors de la grande Fitna. Rattaché à Ali (Wikipédia s'obstine toujours à parler de lui sous la forme "Ali Ibn Abi Taleb" est bien sur le gendre du prophète, l'initiateur de la fitna, l'inspirateur du chiisme. 

    Pour résumer l'histoire de la Fitna (discorde), il faut savoir qu'Ali le cousin et gendre (Mahomet n'eut que des filles, dont Fatima), aurait du être le successeur. Las ! Ce fut Abu Bakr, auquel succéda Omar tué par un perse, puis Othman, qui épousa deux filles de Mahomet (Rukkaya et Oum Kultum) lui même assassiné. Et ce fut le tour d'Ali, lui même accusé d'avoir fait tuer Othman. 

    Il est désigné dépositaire par Mahomet à Ghadir Khumm, à mi chemin entre la mecque et médine, de la "mawla" interprétée différemment par les sunnites, chiites et soufis, respectivement comme l'autorité familiale, religieuse et spirituelle. 

    Mahomet donna son sabre (Zulfikar) à Ali, qui s'en servit magnifiquement (le classique et très moyen âgeux découpage depuis le sommet du crane jusqu'à la moitié de la poitrine d'un méchant (sans doute). D'où le très "religion de paix": "il n'y a pas de sabre comme Zulfikar, il n'y a pas de héros comme Ali". 

    Ce fut la "bataille du chameau", avec Aicha la femme de Mahomet (mariée à 6 ans, elle ne fut consommée qu'à 10, mais bien sur il a d'autres âges respectifs mentionnés), sur un chameau elle dirige l'armée et perd la bataille quand ses troupes se débandent, après qu'on ait coupé les jarrets du chameau... 

    La bataille en question fut décisive et se trouve être la manière dont on philosophe en islam au sujet du un et du multiple. C'est le fameux "il y a 73 sectes en islam, toutes iront en Enfer sauf un"... 

    Mais revenons en arrière, à l'issue de la bataille de Siffrin, Ali traite avec Muhawiya, ce qui est refusé par les kharidjites qui le tuent. Muhawiya fonde le califat Omeyyade, capitale Damas. 

    Les kharidjites, dissidents de l'islam par excellence, se divisent en blancs (ibadites) jaunes (sufrites) et bleus (azraquites). Les ibadites sont encore à Oman, à Djerba en Tunisie et au Mzab en Algérie.  

    Puis vinrent ceux qui trucidèrent les Ommeyyades,les Abassides, capitale Bagdad. 

    C'est d'ailleurs le rejet du pluralisme par le très autoritaire calife abbasside mutaziliste Al Mamun qui causa le rejet de la belle doctrine, et d'ailleurs de toute l'autorité religieuse du calife. A vouloir imposer par la force un coran crée, on créa la belle religion de paix sous sa forme actuelle. Après Al Achari, l'ex mutazilite qui fonda l'acharisme, le mutazilisme disparut complètement n'exista plus que comme le repoussoir philosophique et religieux. Bien sur il s'allia au maghreb avec les kharidjites ibadites mais c'est pour la forme: un repoussoir vous dis-je.  

    Mutazilisme 

    Le Mutazilisme fut en quelque sorte le contraire du Khardjitisme: il fut l'école théologique qui ne prenait pas parti et qui se donnait des critères rationnels, il se trouve être la cible des réformateurs avec évidemment le tort de contredire les doxas installées: coran crée et actes crées par l'homme. Ca fait beaucoup. 

    Fondé par Wasil ibn Ata à Basra, il marque la ville , impliquée dans le drame de la mort d'Othman. 

    Quand on pense que El Gazhali, le maitre des soufis dit le contraire exact et s'oppose à tout rationalisme, on mesure l'abime qui sépare les réformateurs des autres. Cela fut décrit en (3).  

    On associe le Mutazilisme rationalisateur avec l'école juridique dite Hanafite (la turque, celle qui avait cour dans l'empire Ottoman) la plus libérale, celle qui ose le recours à l'analogie pour interpréter. C'est aussi la seule qui ne récuse pas le talion entre un Dimmi et un musulman dans le sens de gauche à droite... Par contre le frère Qaradawi serait hanafite, comme  quoi. 

    Sur la question des "actes" des hommes, le mutazilisme nie donc que Dieu soit le créateur des désobéissances, et de la mécréance. L'homme est ainsi libre et se trouve récompensé et puni. Dieu ne crée pas et ne veut pas le mal. Cette asymétrie entre bien et mal, le mal  n'est qu'une non existence, permet ainsi de rendre l'homme seul capable du mal, de part sa liberté. C'est le fameux 4.79 "tout le bien vient de Dieu, tout le mal de l'homme". Pourtant il y a aussi: 37.96 "il vous a crée et tout ce que vous faites"... 

    Initiée par la première des grandes voies islamiques la Quadariyya, cette manière de voir conduit à un juridique examinable par la raison, le bien et le mal étant accessible à l'homme. Permettant un statut du pécheur entre apostasie et soumission totale, la "demeure entre les demeures" est typique de l'approche Mutaziliste.

    Par ailleurs l'affirmation d'un coran crée introduit l'accusation qui leur est faite d'"associer" Dieu à quelque chose d'autre. Hérésie et malédiction. 

    Pour compléter les choses, les Mutazilites associent intelligence et volonté alors que la réaction acharite donne tout pouvoir à la volonté (de Dieu). 

    Al Gazhali dans "le juste milieu dans la croyance" fait discuter le mutaziliste Al Gubai et Al Achari lui même sur la question des 3 frères, le pieux, le mécréant et le mort en bas âge. Qu'arrive-t-il au mort né ? Alors que le  mutaziliste dit que Dieu ne le punit ni ne le récompense car il voulait le faire mécréant s'il l'avait laissé vivre, Al Achari rétorque que le mécréant aurait du donc mourir en bas âge...  

    Achari apporte toutefois une très légère dose de liberté dans l'attribution à Dieu de toute la volonté. Assez pour disculper d'un total déterminisme, assez peu pour ne pas devoir s'y soumettre (5). Disons que l'homme "acquiert" un acte crée par Dieu, le "kasb" étant l'acte volontaire complexe, à discuter et de multiples interprétations furent proposées... 

    Il faut ajouter un camp dans cette belle discussion: celui des falsifa, euh des "philosophes", qui se différenciaient nettement des mutazilites mais qui furent tout autant rejetés et anathémisés. Farabi, Avicenne, Rushd voient le monde comme nécessaire. Encore pire: Dieu est un moteur raisonnable, infiniment puissant et à qui il faut s'unir. Tout ceci, qui se voulait décrire l'infiniment arbitraire, fut rejeté avec violence. 

    Dans la réalité, le refus il y a mille ans, non seulement de la philosophie, mais de la seule alternative théologique à l'écrasement absolu de l'humain devant une divinité autoritaire dont l'unicité ne cédait rien à la cruauté et au total manque d'intérêt pour le développement humain, consacre l'impossibilité complète de faire quoi que ce soit avec la religion en question. Elle doit disparaitre, la voilà la réforme. 

     

    (1) http://francoiscarmignola.hautetfort.com/archive/2016/09/17/les-theologies-musulmanes-5848990.html 

    (2) http://francoiscarmignola.hautetfort.com/archive/2015/11/11/les-ecoles-musulmanes-5714316.html

    (3) http://francoiscarmignola.hautetfort.com/archive/2016/09/11/le-dernier-philosophe-5846460.html

    (4) Doctrine Mutazilite: https://www.persee.fr/doc/remmm_0035-1474_1973_num_13_1_1218

    (5) la doctrine acharite:  http://openaccess.uoc.edu/webapps/o2/bitstream/10609/54442/5/La%20pens%C3%A9e%20classique%20arabe_Module4_Le%20kal%C3%A2m%20d%27Al-Ash%27Ari.pdf