La Relativité

Pour comprendre la relativité d'Einstein, autant le lui demander directement. L'homme écrivit et fut convainquant. Reprenons son exposé ! 

Vitesse de la lumière dans le vide

D'abord la constance de la vitesse de la lumière. Fait établi à peine inquiétant à première vue, la chose n'a rien à avoir avec l'éther qui avait embrouillé jusque-là ma compréhension des choses: il est en fait source de paradoxe, et c'est cela que Einstein commence par souligner. 

Le problème est la notion de temps, rien moins que mal fondée.

Simultanéité

En effet, la notion suppose en fait un moyen fiable de déterminer la simultanéité: deux choses auraient donc le même "temps" (ou mêmes coordonnées sur l'axe unique du temps) si on pouvait expérimentalement le mesurer en mettant deux horloges identiques au milieu d'une balançoire dont chaque extrémité émettrait un flash à la même heure (au même temps, donc). Si les deux aiguilles indiquent la même heure quand les deux observateurs centraux leur ont attribué l'heure de vision de chacun des flashs, ceux-ci ont été simultanés. Fastoche pour l'instant. 

On prend alors un train et un talus et on recommence. Le train avance à une certaine vitesse et on a deux couples d'observateurs. Et bien, si les deux flashs sont émis sur la balançoire du talus "quand" les deux balançoires coïncident, les deux couples d'observateurs ne noteront pas la même chose. La vitesse de la lumière jouera et sur le train, on verra le flash aval avant. La simultanéité est "relative" au corps en mouvement. 

La notion de simultanéité, invalide, est ainsi battue en brèche et donc... Le temps n'existe pas. 

Par contre, la notion de durée, comme période s'écoulant sur un corps de référence en mouvement a un sens et peut être mesurée, relativement à ce corps, par exemple avec une horloge. Simplement les durées mesurées seront différentes sur des corps en mouvement différents. Cela s'applique d'ailleurs aux distances ou longueurs: leurs mesures (les valeurs de) pourraient dépendre du corps sur lequel elles sont faites. Le temps n'existe donc que à l'intérieur (relativement) à un corps en mouvement. C'est son temps "propre". 

Principe de relativité

Venons on maintenant au principe dit "de relativité", qui ,établi depuis Galilée, stipule que les lois de la physique ne dépendent pas du corps en mouvement sur lesquelles on les applique.

Et bien il semble que la constance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels en mouvement relatifs viole ce principe. En effet, la vitesse d'une lumière émise sur le talus vers l'aval du mouvement d'un train devrait être mesurée plus lente sur le train, en vertu de l'existence du temps absolu. 

Et bien c'est là qu'Einstein déboule: en fait, le principe de relativité reste valide ! (ouf). Et cela PARCEQUE les mesures du temps et de l'espace sont relatives aux corps en mouvement dans lesquels elles sont faites, comme on l'a vu. 

En effet, ce sont les suppositions contraires qui justifient les "lois" d'addition des vitesses permettant de convertir temps et durées entre deux référentiels. Ces lois d'addition des vitesses doivent ainsi être réformées pour que le principe de relativité reste valide en présence de la constance de la vitesse de lumière. La vitesse de la lumière devient alors une propriété de ... l'espace temps.

Au passage, on se situe ici dans un cadre "restreint", la relativité en question ne se rapportant qu'à des référentiels en mouvements relatifs de vitesse constante. Pour généraliser tout cela avec les accélérations, il faut passer à autre chose. 

 

Transformation de Lorentz

Dans le train, la "loi d'addition des vitesses" ou expression mathématique transformant les valeurs des mesures sur le talus en mesures dans le train s'exprime en dérivant les mesures dans le train (x', t') à partir des mesures sur le talus (x,t).

La loi d'addition  classique  nous donne  : x' + v*t = x  et t' = t.

Alors qu'en fait, comme Lorentz le détermina en examinant les équations de Maxwell, qui décrivaient la lumière, on a:

def LZ (X) = X/ Sqrt( 1 - v^2/c^2)

x' = LZ (x - vt )

t' = LZ (t - v*x/c^2)

 

Ces équations un peu torturées permettent bien de garder une vitesse de la lumière constante dans des référentiels distincts. En effet, si  x = c * t , c'est à dire si on voit passer un rayon de lumière, et bien: 

x' = LZ(c*t - v*t)= LZ (t*(c-v))    et  t' = LZ(t - v*c*t/c^2) = LZ (t - v*t/c) = LZ(t *(c - v)/c) 

soit x = c*t

Bien sûr, la transformation en question dotée de cette propriété est unique, cela se démontre aisément (à titre d'exercice).

La courbe du multiplicateur magique ZL est bien la plupart du temps "1", et part à l'infini (en couilles) uniquement pour les vraiment grandes valeurs de v... 

 

 

Tout le reste de la relativité (restreinte ) s'en suit... 

 

Demonstration

Corrigé de l'exercice sur l'unicité de la transformation de Lorentz, dont on exige (la nature est simple) qu'elle soit linéaire: 

x'=Ax + Bt

t'=Cx +Dt

On voit que la transformation est une rotation dans l'espace temps, avec transformation du temps en espace et réciproquement. C'est la seule rotation qui conserve x=c*t , et aussi qui conserve les distances x^2 + c^2*t^2, distance dans l'espace temps qui devient donc, inexistence du temps oblige, la seule réalité globale. 

Quand v=0 , les deux référentiels sont identiques, A = D = 1 

Quand x'=0 , x = vt par définition du mouvement du train: Av + B = 0 

(Ax+Bt)^2 - c(Cx+Dt)^2 = x^2 - ct^2

Ax+Bt - c(Cx+Dt) = x - ct